一节数学课上关于分类讨论思想的学习
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2016）02-0150-01
在《新课程标准》中关于基本理念的叙述中指出：数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具;数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础;数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力方面有着独特的作用。分类思想，在我们的实际生活中经常用到，比如学生对书籍或一些物品的整理，教科书上对各章节的划分……。通过分类处理，可以让事物变得更有条理性，事物之间的关联更加的清晰，而分类讨论的能力也可以让我们的逻辑思维更清楚，分析问题的能力得到训练。
根据新课程标准的要求，通过初中数学的学习，学生对方程、类比、分类讨论、建模等数学思想方法应有一定的感知，并能在解题过程中进行应用，这是对学生提出的较高学习要求。就这些概念本身而言的是比较抽象，也并不要求学生对概念进行记忆。因此，学生只有在新知识的习得过程中、知识的应用中去体会、感悟它们，才能理解并掌握。
分类讨论的思想方法，它一直贯穿于初中数学知识。从教材内容的安排上来看，初中数学知识分代数、几何、概率、统计四大部分，采用不同的方法进行研究，从各部分内容来看，如代数中实数的分类、式的分类、方程的分类、函数的分类等，这都是分类思想的表现。通过了解学习内容，让学生在初中的第一堂课就感受当数学思想方法的运用，同时，通过学习内容的分类，使学习的难度有了一定的层次，每一节内容的学习目标更具体，便于学生对知识的掌握。
初中数学内容中分类讨论的思想主要表现在以下几个方面：（1）含字母系数或绝对值符号的运算，如，解方程 时，应分为：当a>0时，;
当a<0时， ，一次函数的截距和斜率对图象位置的影响，如，一次函数
，当k>0，b>0时，图象过一、二、三象限，当k>0，b<0时，图象过一、三、四象限，当k<0，b>0时，图象过一、二、四象限，当k<0，b<0时，图象过二、三、四象限，由于字母系数的取值和绝对值符号去掉后会有不同结果，因此需要分类讨论。（2）一些概念和定理的论证过程包含了多种情况，如，三角形按边长分类为：
还有角的分类，多边形的分类，圆周角定理的证明等。（3）有些数学问题，尽管结果一样，但由于每种结果的分类依据不同，也要分类讨论，如，有理数可按定义分为：
在人教版八年级上《等腰三角形》的一次习题课中，学生碰到了这样一些问题：
1、一等腰三角形的一个底角是40°，求另外两个角的度数。
2、一等腰三角形的一个顶角是40°，求另外两个角的度数。
3、一等腰三角形的一个内角是40°，求另外两个角的度数。
前两个问题学生能够很快地找出答案，但在回答第三个问题时，一部分学生有了质疑：这个已知的角是顶角还是底角？通过讨论，学生很快分析得出，这个角可能是顶角，也可能是底角。因此，这里有两种情况。通过这几个练习让学生初步体会到分类思想的用途。
4、一等腰三角形的一个内角是100°，求另外两个角的度数。
5、一等腰三角形的两边分别是6，3，求这个三角形的周长。
6、已知等腰三角形的周长是24，一边长为6，则另两边的长是多少？
7、已知等腰三角形的周长是24，一边长为10，则另两边的长是多少？
有了前面的问题做铺垫，学生很自然的在处理这两个题目时都会进行分情况（分类）处理，但会发现有些情况是不符合题意的，应当舍去。
8、一等腰三角形的周长是16，两边之差为2.求它的三边长各是多少？
通过思考，学生们很快就提出了解法：
①设腰长为x，则：x+x+x+2=16，解得：x=。三边长分别为，，。
②设底边长为x，（x-2）+（x-2）+x=16， 解得：x=。三边长分别为，，。
这是出现了两种相同的结果。问题出在哪儿？
经过讨论，又有学生提出：
③设腰长为x，则：x+x+x-2=16，解得：x=。三边长分别为6，4。
④ 设腰长为x，则：（x+2）+（x+2）+x=16，解得：x=。三边长分别为。
再次出现了同样的问题。通过学生几分钟的观察思考，就有学生发现了问题所在：这四种解法中实际上就包含了两种情况：①底边比腰长多2;②腰长比底边多2。因而，分类不应该是以设不同的量（腰或底）为依据来进行求解。
到这里，一个教学环节结束，让学生们回过头再来看看这几个问题给大家带来的注意点，不难得出：
（1）在几何知识中，我们也会遇到分类讨论的问题，即：问题的答案不唯一;
（2）在分类的几种情况总，允许有不合题意的结论被排除;
（3）分类时，一定要找准分类的依据，以便做到不重不漏。
当然，分类讨论思想的应用在后继的学习中还会出现，要能准确应用，要求学生具有较强的分析、整理能力和严密的逻辑思考。这一能力的养成，并不是一节课就能够达到的，需要通过一定量练习的点滴渗透、积累、概况和归纳才能形成，这也是初中阶段学习应养成的一种数学能力，在教学过程中不容忽视。
