论数形结合在中学数学中的应用
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）23-0201-02
一、引言
自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想就得到了突飞猛进的发展。数学家华罗庚曾就说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔家分家万事休。”数形结合是重要的数学思想，有极大的探索研究空间。本文将通过实际的案例分析，展示出数形结合这一思想在中学数学中的广泛应用。
二、数形结合思想在中学数学解题中的应用
数形结合本质上是通过将符号语言“数”，图形语言“形”进行结合转化，使问题得到解决。“形”主要提供研究的对象和辅助思考的工具，而“数”则是为研究提供必要的工具、方法、视角。两者之间的结合具有双重含义。可广泛应用于函数、解析几何、不等式等多个方面。
1.由“数”转化为“形”的应用。“数”和“形”是一种对应。有些数量比较抽象，难以把握，而“形”具有形象直观的优点，对解决问题的重要作用。
例1.不等式■≥x的解为m≤x≤n，|m-n|=2a，a>0，求a.
问题分析：本题看似是一道以“数”表现出的求解不等式的问题，即求解得■-x=0的根，而解题误区在于m，n的值和方程的根的关系。若不应用数形结合思想，便极易出错，而解题者却难以察觉。
解：作曲线C：y=■，直线l：y=x，如图1所示，显然有m=-a，由y=xy■=x+a可得大根x=■，
即n=■.根据|m-n|=2a.
得■+a=2a，解得a=2.
例2.实数x，y满足等式（x-3）■+y■=3，求y/x的最大值。
问题分析：通过观察y/x的几何意义，发现y/x即为点（x，y）与点（0，0）连线的斜率k，应用数形结合的思想方法，题目就比较简单明了。
解：绘制图2可观察到，直线m与图中圆相离，直线l与圆相切，直线n与圆相交，α为直线l与x轴的夹角。观察图形可知，当过原点（0，0）的直线与圆相切，且直线只在一三象限时，斜率k的值最大。设直线方程y=kx，则圆心（3，0）到直线l的距离为d=■=■，解得斜率k=■，所以y/x的最大值为■.
除了通过距离公式求斜率，学生还可以应用直角三角形性质，构造下式：
k=tanα=■=■.
问题小结：在数学解题中，方法至关重要，同一道题目可能有多种解决办法，学生需要不断地思考探索，发挥主观能动性，提高自身的学习素质。
2.由“形”转化为“数”的应用。虽然“形”有形象、直观的优点，但在定量计算问题方面还必须借助代数方法，尤其是对于较抽象的“形”。在解题过程中，不但要把图形数字化，而且还要注意观察图形的特点，发掘题目中隐含的条件，充分利用图形的性质与几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，并对其进行分析计算。
例3：在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆■+y■=1上的一个动点，求S=x+y的最大值。
问题分析：拿到此类题目，初始想法与本文中例2类似，一是对椭圆的方程进行代数运算，配出x+y；二是作椭圆的图形，观察图形性质。实际操作可发现，两种思路的可操作性低，应当另辟思路。在高中数学学习中，圆锥曲线占有重要地位。题中■+y■=1为椭圆一般式，而椭圆的另一种表现形式圆锥曲线参数方程，在中学数学解题中的应用体现了数形结合思想，可以作为一种思路。
解：因椭圆■+y■=1的参数方程为x=■cosφy=sinφ，（φ为参数）。故可设动点P的坐标为（■cosφ，sinφ），其中0≤φ<2π.
因此S=x+y=■cosφ+sinφ=2（■cosφ+■sinφ）=2sin（φ+■），故φ=■时，S取最大值2。
问题小结：对于某些问题，采用单纯的几何和代数方法，都无法使问题得到妥善的解决。但根据圆锥曲线参数方程，将平面上的点代数化，再由三角函数的性质，能更好地解决问题。此过程展现了“数”与“形”的互相转化。
三、结论
从以上几个方面可以看出，数形结合是学生学好数学的一把“金钥匙”。在运用数形结合思想的过程中，学生需要进行联想，从而激发学生的想象力。?W生还需要进行一定的创造活动。创造的成功能唤醒学生的求新意识，激发他们创新的激情，提高学生的创造力，从而增强学生综合素质。由此可见，中学数学中数形结合的思想方法，充分地把握了数学的精髓和灵魂，值得学生深入探索研究。
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