初中数学拓展性课程的有效实施
2015年9月，浙江省教育厅发布的《关于建设义务教育拓展性课程的指导意见》，把义务教育课程分为基础性课程和拓展性课程两大类，基础性课程指国家和地方课程标准规定的统一学习内容，拓展性课程指学校自主开发开设、供学生自主选择的课程，这是义务教育课程体系建设的一大创新.它对拓展性课程的基本原则、课程的建设、课程的实施、课程的评价都提出纲领性的指导.现在笔者从教学目标的设定、教学内容的展开、教学模式的选取三个方面，例谈初中数学拓展性课程开发的有效实施.
一、教学目标的设定
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）中提出两类描述教学目标的行为动词：一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解”、“理解”、“掌握”、“运用”等；另一类是描述过程目标的行为动词，包括“经历”、“体验”、“探索”等[1].澳大利亚著名教育心理学家比格斯及其同事用结构特征来确定学生应对问题、思考问题、解决问题时反应的层次水平，他们将学生的学习结果划分为以下5种结构.（1）前结构.问题解决者没有问题解决的相关知识，或者受其知识结构中无益于问题解决的知识干扰，因此没有问题解决的思路，这种水平称之为前结构.（2）单点结构.问题解决者面对问题时能基本找到解决问题的思路，但只能提取或联系已有知识结构中的单一知识点或单一问题解决的通道.（3）多点结构.问题解决者在面对问题时可以联系与问题相关的多个知识点或关注到多种问题解决的线索，但是不能对多个知识点或多种问题解决思路整合起来解答问题.（4）关联结构.问题解决者解决问题时，能全面把握问题的结构特征，联系并整合已有的知识储备与问题解决策略，来解决较为复杂的问题情景.（5）拓展抽象结构.问题解决者不仅能够解决问题，还能够在原有的问题基础上提出更多的有意义的问题，从而在解决问题的过程中能学到更多的抽象性知识[2].由于问题本身具有探索、开放的特征，其核心要义在于提供给学生有意义自主探究学习的机会，让学生体验问题解决后得到的成功抑或失败的经验，培养学生一种更高层次的学习能力.
从描述结果目标、过程目标和结构特征的三种目标分类分析，由于受教学时间与空间、教学评价体系的影响，基础性课程教学目标都定位在比较浅的层次，如了解、理解、掌握，经历、体验，前结构、单点结构、多点结构的层次.拓展性课程则更多关注学生的差异性和选择性，体现数学知识的形成过程和应用过程，关注数学思考和问题解决的评价，则将目标定位在运用、探索、关?结构、拓展抽象结构.
案例1：《从勾股定理到图形面积关系的拓展》（八年级上册）第2章阅读材料
作为基础性课程的教学目标：
（1）了解《几何原本》第六卷命题31的内容.
（2）理解以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正方形、正三角形、半圆存在的面积关系.
作为拓展性课程的教学目标：
（1）经历以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正方形、正三角形、半圆存在的面积关系的证明过程，体会数形结合的思想，积累面积关系证明中问题解决的经验.
（2）在探索的过程中发现和得出规律：“在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和.”
教学评析：基础性课程对阅读材料的教学目标定位是比较低的，它对《几何原本》第六卷命题31的内容仅仅要求是“了解”，它对“以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正方形、正三角形、半圆存在的面积关系”只需要是“理解”，达到“多点结构”的理解水平，也就是学生回答问题时能找到向外所作的三个正方形之间的面积关系，三个正三角形之间的面积关系，三个半圆之间的面积关系，但未能将所有找到的特征综合起来，不能发现《几何原本》第六卷命题31的结论.而这则阅读材料作为拓展性课程进行开发时的教学目标定位要求比较高，它需要“经历”面积证明的过程，“体会”数形结合的思想，“探索”《几何原本》第六卷命题31的规律，达到“关联结构”的理解水平，也就是学生能将特殊图形的面积关系进行整合，形成完整的知识结构，发现《几何原本》第六卷命题31的结论.
二、教学内容的展开
拓展性课程教学内容的展开需要从知识点、思想和方法这三个方面做到优质高效，优质高效的拓展性课堂需要以有效教学的三个衡量维度（教学效益、教学效果和教学效率）进行建构[3].教学效益指的是学生通过课堂教学后学到的东西是有价值的.教学效果指的是学生通过课堂教学后获得实际的发展.教学效益指的是教学效果与时间和精力投入的比.这三者之间是环环相扣、螺旋上升的关系.教学内容的载体是拓展性课程的知识点、数学思想和数学方法.
案例2：《美妙的镶嵌》（九年级上册）第3章阅读材料
问题1：通过欣赏生活中美妙的镶嵌，请思考用一种全等的多边形密铺有哪些情况？
问题2：用一种正多边形密铺有哪些情况？
问题3：用两种正多边形密铺有哪些情况？
问题4：用三种及以上正多边形密铺有哪些情况？
问题5：学生根据自己的特长和爱好，选择其中的一种成果整理形式进行分享交流.
形式1：利用全等三角形或全等四边形拼出美妙的图案.
形式2：将问题（2）（3）（4）或（5）的分析过程整理出来，并配上相应的密铺，形成小论文. 形式3：对问题（4）给出不同的解法.
形式4：提出新的问题，比如：（5，5，10）只满足在一个点处密铺，不能在平面上密铺，并用图例展示.
教学评析：优质高效的拓展性课堂教学需要课堂教学效益精准化，它需要教师把握《美妙的镶嵌》课堂教学的核心知识点：平面内正多边形的镶嵌方案.案例通过5个问题的设计，牢牢地将学生思维的发生发展过程与平面内图形的镶嵌数学知识的发生发展过程结合起来，在这个过程中积累计算一种正多边形镶嵌，两种正多边形镶嵌，三种正多边形镶嵌方案的问题解决经验，学会建立方程、不等式模型解决实际问题的思想方法.课堂教学效果需要实效化，正如案例中教师通过核心问题的设计，经过学生合作交流、教师适时点拨、学生成果分享，让学生很好地掌握平面内正多边形组合镶嵌方案的计算方法，起到很好的教学实效，体现教师从关注教学任务的完成度转向关注学生学习的达成度，关注学生知识、能力和品格的实际变化.教学效益需要最优化，它通过三个课时的探究学习，学生完整经历平面内正多边形的镶嵌由简单到复杂的问题解决过程，培养学生在问题解决过程中进一步发现和提出数学问题的能力，培养学生运算和推理的能力，促进学生数学思维的发展.
三、教学模式的选取
教学模式是在一定教学思想、教学理论指导下，教学活动诸要素依据一定教学目标、教学内容及学生认知特点所形成的一种相对稳定而又简化的教学结构.教学模式的形成和发展，有它一定的条件和原因，目前主要有以下六种教学模式：（1）以教师讲授为主，系统传授与学习书本知识；（2）围绕学习者为中心来设计教与学的活动，让学习者在活动中学习；（3）设置个性化的学习情境，但是严格控制学习者学习进程的自学辅导；（4）提供结构化的学习材料，教师作为组织者启发学生从探索、发现中学习；（5）师生创设一定的情境活动，让学生在情境中默会学习；（6）教师组织以行为技能训练为主，学生在示范模仿中学习[4].拓展性课程教学更多的会选取第二种和第四种教学模式，或者是多样综合的教学模式.
案例3：《扑克牌的旋转》（九年级上册）第3章探究活动
书本探究活动：能通过图形的旋转，使图形A与图形B重合吗？如果用两种图形的运动呢？比如旋转和轴对称，旋转和平移等.用扑克牌试一试，说出一种方法.
教学设计：
活动一：学生利用几何画板进行拖动，解答上述两个问题.
活动二：教师将两张扑克牌分开放，问：现在能用两次变换吗？能将两次变换改成一次吗？学生在几何画板上拖动试验.
活动三：在活动过程中提出问题：两个全等的几何图形能否通过一次图形变换就能重合？
活动四：得出结论：如果平面上两个全等的图形，方向一致时，通过旋转使得一条对应边重合，则其余各个角，各条线段都重合.方向相反时，有可能可以通过轴对称变换使得重合.也就是说，在平面上的两个全等图形，要么经过一次全等变换，要么经过两次全等变换就可以重合.而且，这里的三角形可以推广到四边形、五边形……n边形.
教学评析：教学模式不能单一化、程式化，由于教学活动的复杂性、教学目标的多样性、教学内容和学生认知特点的丰富性，决定教学模式既丰富多样又整体综合.正如《扑克牌的旋转》案例，作为基础性课程的探究活动，教师会选用教学模式（1），以教师讲授为主，系统传授和学习书本知识.但作为拓展性课程的内容，则会选用教学模式（4），提供书本探究活动“扑克牌的旋转”这个结构化材料，引导学生从“通过图形的旋转，使图形A与图形B重合”发现和提出问题：“两个全等的几何图形能否通过一次图形变换就能重合.”在探索的?^程中教师既重视设计活动，引导学生主动积极地从活动中学习，也重视利用学生已有知识，在教师启发诱导下通过动手操作、观察、思考、讨论、再实验等途径，研究问题，发现事物变化的起因和内在联系，从中找出两个全等图形重合需要两次或一次全等变换的规律，从而获得知识并发展能力.在这个学习过程中也运用了教学模式（2），以学习者为中心，从活动中学习.这就是拓展性课程教学模式选取的特点，它往往需要综合地选用多种教学模式，但我们要始终抓住数学学科教学的特点，培养学生数学思维.
