变式与数学概念的学习
一、数学概念的含义及其特点
数学概念是反映一类对象在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式.数学概念所代表的是一类对象，而不是个别事物，它反映的是这类对象内在，固有的属性，而不是表面的属性，在这类对象的范围内具有普遍意义。因此，概念学习是学生数学学习的核心。数学概念是从空间形式和数量关系方面反映事物的本质属性和内在联系，是用数学语言和符号揭示事物的共同属性(即本质属性)的思维方式。主要有以下特点:
1.抽象性。数学概念源于现实，是思维的产物，但又确实无法在现实生活中找到;数学概念的表征使用了形式化、符号化的语言，使其抽象程度更高。
2.逻辑联系性。许多概念都是在原始概念的基础上形成的，以逻辑加以定义、以语言形式定型，彼此之间存在着严谨的逻辑联系。
3.系统性。先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了概念的系统。
二、变式教学的意义
1.它是概念掌握的一种有效的方式，也是定理公式理解与掌握的一种重要的方式，通过变式可以使抽象的概念、原理等变得更加形象、具体，从各个侧面来展现概念、原理的内涵;另一方面，也可以通过变式，由特殊到一般，层层推进，归纳出具有一般性的结论，从而使得具体的、特殊的内容上升到一般性，使其理解更为深刻。
2.数学变式教学能培养学生的思维品质川。通过各种变式，揭示概念原理的实质，掌握其精髓，从而培养其思维的深刻性;通过各种变式展现概念原理灵活多变的形式等特点，并进行多方位、多角度的探索，提高数学应变能力，培养思维的灵活性和创新性;利用变式构造反例，揭示问题实质，培养其思维的批判性。
3.变式教学能培养学生的各种能力。运用各种图形变式，在对比、辨析、联想中培养学生的空间想象力;通过变式可以克服静止、孤立、片面地看问题的习惯，消除思维定势的影响，促使学生多角度、全方位地思考问题，从而培养学生的辩证思维能力等。
4.变式教学能激发学生的积极性和创新性。变式有助于启发学生分析数学问题的已知、未知及其相互联系，使其积极联想与之有关的新旧知识，探求解题途径。也鼓励学生不满足于会解一题，而是一类题;同时也不满足于一题一解，而是一题多解、一题巧解、多题一解，诱发其创造型。通过对问题的变式，不仅可以对学生的基础知识、基本技能进行有效训练，而且能调动学生积极参与教学活动，减轻学生负担，有利于学生创新能力的培养。
三、变式与数学概念的学习
1.通过直观或具体的变式引入概念
数学概念的一个基本特征是抽象性，但许多数学概念又直接来自具体的感性经验，因此，概念引入教学的关键是建立感性经验与抽象概念之间的联系。在平时教学实践中笔者发现，影响学生掌握几何概念的主要因素有三个：己具备的图形经验、概念的叙述以及掌握概念所依据的图形变式。以两条异面直线的概念教学为例。异面直线概念的教学主要有两个难点：一是概念的定义(内涵)比较抽象，学生不易理解;二是异面直线属于三维图形，用平面直观图去表示难免会造成视觉上的失真，从而也为概念对象(外延)的鉴别带来困难。针对这两个难点，我们老师通常会不自觉地用到下面两类变式:首先通过教室中的直观材料课桌、笔和书本建立感性认识，使学生理解概念的具体含义。然后由直观材料抽象出图形变式，作为直观材料与抽象概念之间的过渡，使学生原有的感性经验从具体直观上升到图形的水平，进而掌握概念图形的基本特征，准确地把握概念的外延空间。
2.通过非标准变式突出概念的本质属性
学生认知的肤浅性，往往表现为从问题次要的、表面的形式上去观察和比较，而对问题主要的、本质的东西视而不见。标准变式虽然有利于学生对概念的准确把握，但也容易限制学生的思维，从而人为地缩小概念的外延。解决这个问题的方法之一就是充分利用非标准变式，先显示标准的常式，再出示非标准的变式即先揭示概念的内涵后揭示概念的外延。笔者在教学中摸索出的一种有效途径就是将概念的外延作为变式空间，将其所包含的对象作为变式，通过类化不同变式的共同属性而突出概念的本质属性。
3.通过非概念变式明确概念的外延
概念的内涵和外延是对立统一的，内涵明确则外延清晰。概念的教学除了在内涵上下功夫外，还应该使学生对概念所包含的对相集合有一个清晰的边界。要明确概念的外延就必须划清概念与其相近概念之间的边界，这里的一条有效途径就是利用“非概念变式”，如：平面几何中的非概念图形，通过非概念图形与概念图形的比较，可以十分直观的理解概念的本质属性。4.通过辨析型变式进一步深化概念的理解在概念形成之后，不急于应用概念解题，而是多角度、多方位、多层次地设计变式问题，给出有正有误或全误的解答，或一个问题给出多个答案，启发学生辨别正误，说出根据，帮助学生通过现象看本质。通常是针对一些数学概念因内容或形式的相似、相近，易造成混淆，而在教学中设计这类问题，使学生学会客观的评价事物，培养学生批判性思维。如：引导学生探索长方体体积的计算方法。首先安排长方体体积与长方形面积的类比，启发学生猜测长方体的体积可能与长、宽、高有关。然后变化长方体的长、宽、高中的一个量，比较体积的变化，使学生分别体会到“长、宽相同时，越高体积越大”、“长、高相同时，越宽体积越大”、“宽、高相同时，越长体积越大”。究竟长方体的体积与长、宽、高有什么关系呢?接着安排操作活动，引导学生用小正方体摆4个不同的长方体，并记下长、宽、高等有关数据。通过观察、分析这些数据，发现长方体体积与长、宽、高的关系，逐步归纳得出长方体体积的计算方法。
