灵活利用“问题”资源 让数学课堂“活”起来
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2012）04-0075-02
这里的“问题”指的是在数学课堂教学中学生出现的疑问、提出的问题，也指课堂教学中的突发性偶发事件，还包括教师在课堂教学中“有意”或“无意”的教学“错误”。若对这些问题处理得当，就会获得意想不到的效果；若处理不当，则会给教学带来“麻烦”。本文拟就数学课堂数学中如何利用“问题”资源，择辑几则供同仁赏析，借鉴。
一、学生提出的“问题”
系统论告诉我们，课堂教学是一个多变量的系统，而学生思维活跃，每个学生的已有知识和经验又不尽相同，因此，在课堂教学中，学生会提出令教师意想不到但却对课堂教学有价值的问题。对于这类问题，教师要把它当作课堂教学资源来利用。
事例1：已知a＞b＞c，求证++＞0。在教师的启发下，学生运用作差比较法、综合法、分析法完成了不等式的证明。正当教师想引入另一个新题时，一学生问道：以上几种方法比较麻烦，我观察得到如下一种解法：∵ 0＜a-b＜a-c ∴ ＞，同理＞，所以+＞。但在该证法中笔者觉得所证不等式有点异样――“大加大”当然比“小”大，于是灵机一动，顺水推舟让学生进行探索，反问道：“同学们能不能进一步提出一个值得我们研究的问题？”学生探索： 对进行扩大，有些说：扩大两倍或三倍或四倍，学生的探索热情高涨，教师最后归纳小结：解决上述问题，实际上是确定参数t的取值范围，使不等式+＞恒成立，因此，只须求不等式左边的最小值，而a-c=（a-b）+（b-c），∴右边最小值为4，∴t＜4，即+≥，当且仅当a，b，c成等差数列时，不等式取得等号。教师没有就止罢休，而是动情地说：这是一个多么优美的结果，它凝聚着我们探索的艰辛和获得发现的喜悦，那么我们能不能再大胆猜想，对上述结果进行再推广？接下来，学生小组讨论得到如下结论：推广四个数，若a＞b＞c＞d，则++≥，当且仅a，b，c，d成等差数列时，等号成立。（2个推广n个数）若a1＞a2＞……＞an，则++…+≥，当且仅a1，a2，…an成等差数列时，等号成立。
善待学生发现的“意外”，可能不亚于解数十、百道题。教师在利用学生提出的问题这一隐性资源时，应允许学生提出问题，鼓励学生自由想象，宽容对待学生的不落套和背离常规，并为学生提供回答和探讨问题的机会，这是学生主体参与的需要，也是其主动构建知识的需要。
二、学生的错误
在课堂学习中，学生不可避免地会出现各种各样的错误，教师有时也可以把它们作为教学资源加以利用。
事例2：在某堂“分式的加减运算”的新授课上，两位学生在黑板上板演同一道习题：计算：+-
学生甲给出了正确的解法：原式=。学生乙的解法：原式=4（x-1）+3（x+1）-2（x+2）=5x-5。板演结束后，学生和老师有了以下对活：
师：甲、乙两人的答案不一样，哪个正确呢？
学生：（异口同声）甲――（这时，乙同学慢慢低下头）
师：哪一位同学更简捷呢？
学生（面面相觑，小声地说）：乙。
师：乙同学的解法简捷，但可惜错了，错在哪儿呢？
学生：（哗然大笑）：“张冠李戴”把分式方程变形（去分母）搬到解题计算上，结果丢了分母。
师：对，但我认为乙同学把“方程思想”运用到解分式计算题上，真是妙极了，他给了我们一种启示，若能在操作该题时通过去掉分母来解，解决就简捷明快。请同学思考，我们能否利用乙同学的方程思想来解这道题呢？（这时，乙同学慢慢抬起了头）
学生： 设+-=A，去分母4（x-1）+3（x+1）-2（x+2）=A（x+1）（x+2）（x-1），解得A=。
师：妙呀！真高明！这种解法较甲同学更为简捷，乙同学虽解题错了，但虽败犹荣，给了我们得到此种解法的有益启示，（这时乙同学笑了，脸上荡漾着喜悦）
在事例2中，学生乙虽解错了，但老师没有简单地指出乙同学错误的原因，而是意识到这是推进教学的宝贵资源，并抓住契机，认真剖析学生乙“错解”中的合理成分，从而向学生介绍“用方程的思想解分式计算题”。可以推测，这种形式的学习与教师的口授相比，更能给学生留下更深刻的印象，另外也保护了学生的自尊心，帮助学生树立了自信心。教师随机应变地捕捉学生出现的错误，并把它当作资源来利用，起到了非常好的教学效果，这是值得推广的。
三、课堂中的偶发事件
许多时候，课堂上会出现一些偶发事件，偶发事件看似与数学目标无关，或是影响课堂教学，但是只要教师对这类事件采取的态度是见怪不怪，因势利导，则可将之转化为有价值的课堂教学资源。
事例3：在直线的方程（高三复习课）中，教师：刚才我们回忆了直线方程的基本知识，下面……（老师的话还末说完）这时全班同学被黑板上的“小亮斑”及其制造者所吸引。教师：这位同学给我们出了一道难题，只见老师顺手从黑板上拿起一支粉笔，在黑板上写下一道题目：如图，太阳光AO经镜面l反射后成OB，已知AO所在直线方程为3x+2y+6=0，镜面所在直线方程为x-y=5，求反射光线OB所在直线方程，并在镜面“l”上别有用心地画了一只手。接下来，教师带领学生们对该题进行了深入的分析，讨论：涉及了求直线方程的多种解法。
在事例3中，教师能冷静地审时度势，对偶发事件机智地调节转换：“出了一道难题一语双关，既将学生的注意力吸引过来，又十分含蓄地对该生进行了批评，并在镜面“l”上面画了一只手，增加了题目的趣味性、生动性，也再次无声地对捣蛋同学予以批评，这样看，这位教师的“借题发挥”是多么成功。
四、教师无意中出现的错误
在数学课堂教学中，教师有时也会无意识地出现一些错误，在许多情况下，这些错误都可作为课堂教学资源加以利用。
事例4：师：下面我们共同分析一道高考题：甲、乙两物体在相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5m。问：甲、乙开始运动后几分钟相遇？
师生共同探讨得到以下解法：设n分钟后第1次相遇。得2n+•1+5n=70，解得n=7，n=-20（舍去）。
一会儿，一位学生问道：“老师，等差数列求和公式中n一定是整数，但相遇时间为什么一定要整数呢？所以我觉得应进行分类讨论。该师不仅欣然接受，而且表扬该生：“很好，这道题解答虽没有问题，因为n=7时确定是甲、乙两人第一次相遇，其他情况无需再讨论，但老师忽视了等差数列中通项公式及求和公式应用的前提是n是整数，而实际生活中时间不一定是整数，若将该题中70m设为72m，看看它们的相遇时间是多少？从这段时间来看，你们不仅不迷信老师，实际上也不迷信权威（命题专家），这是值得称赞的，由此引发了学生们的激烈讨论。
对于教师无意中出现的错误或不确定答案，优秀教师一般会主动承认，它不但有助于改善师生关系，也有利于师生身心健康，同时，它还利于培养学生不迷信、敢于向权威挑战的创新精神，并有助于学生找出正确答案。
学生不出错的教学不是真正的教学，学生不出错的课堂不是好课堂。为此，教师在教学中要善于捕捉或创设数学活动的时机，为学生提供创造的机会。作为新世纪的新型教师，我们应该以学生的发展为本，不仅要用一颗“平等心”、“宽容心”去正确对待学生在学习中出现的错误，并且要巧妙、合理地处理好学生的“错误”这一教学资源，使学生在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到发展，最终让数学课堂“活”起来。
