直角三角形法在机械制图课程教学中的探讨
中图分类号：U441+.2 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）06（a）-0210-02
在日常生活中，大家经常会发现有些物体不管从哪个方向看都会感觉到不能反映真形，所以在其工程图纸中可以看到在三个投影面上的投影均具有类似性，既不能反映该线段的实际长度，也不能反映该线段对投影面倾角的一般位置直线，然而，在施工过程中必须按照实际长度进行加工生产，否则工程无法继续开展下去。
对于一般位置直线，求其实长及其对投影面倾角的方法有三种：变换投影法（亦称换面法）、直角三角形法和旋转法，本文将着重阐述直角三角形法在V面和H面上经常要求反映线段实长的求解方法，结合自己多年的教学经验，根据投影求出一般位置直线的实长和对投影面倾角的方法，并对实长、投影面倾角的求解规律进行总结，给想深入学习这方面知识的读者提供帮助。
1 原理分析
如下图1所示，在将一般位置直线AB向V面做正投影时，我们可以发现直线AB的实长、正面投影a′b′和A、B两点的Y轴坐标之间组成了一个直角三角形，且直线的实长AB与正面投影之间的夹角就是空间直线与正面投影的真实夹角β角。并且直线的正面投影a′b′和其端点的ΔY在两面投影中都是已知的，所以利用a′b′作为直角边，以ΔY作为另一条直角边，就能构成一个直角三角形，斜边即为其真实长度，斜边与正面投影之间的夹角就是空间直线AB与正面投影的真实夹角β角。以此类推，在H面和W面上做投影，也同样可以构成直角三角形，即其原理是相同的，在此就不再一一累述。通过上述原理分析，我们可以把直角三角形理解为有四要素组成：即实长、倾角、投影长、坐标差值。
2 典型案例
案例一：
（1）如图2所示，已知一般位置直线AB的两面投影，求其实长及倾角α。
解法1（见图3）：
①首先确定在H面上构建直角三角形，即取ab为一直角边。
②在V面上作两点的Z坐标的差值即ΔZ。
③将ΔZ值的大小截取到H面上与投影线ab构成直角，即为另一直角边。
④最后连接两开口的端点，所得线段长为其实长AB，AB与ab的夹角为α。
解法2（见图4）：
①首先确定在V面上构建直角三角形。
②在V面上作两点的Z坐标的差值即ΔZ为一直角边。
③将H面上投影ab截取到V面上与ΔZ的直角边构成直角，即为另一直角边。
④最后连接两开口的端点，所得线段长为其实长AB，AB与ab的夹角为α。
（2）如图5所示，已知一般位置直线AB的两面投影，求其实长及倾角β。
解法1（见图6）：
①首先确定在V面上构建直角三角形，即投影a′b′为一直角边。
②在H面上作两点的Y坐标的差值即ΔY为一直角边。
③将H面上ΔY的大小截取到V面上与投影a′b′的直角边构成直角，即为另一直角边。
④最后连接两开口的端点，所得线段长为其实长AB，AB与ab的夹角为β。
解法2（见图7）：
①首先确定在H面上构建直角三角形。
②在H面上作两点的Y坐标的差值即ΔY为一直角边。
③将V面上投影a′b′的大小截取到H面上，并于ΔY一直角边构成直角，即为另一直角边。
④最后连接两开口的端点，所得线段长为其实长AB，AB与ab的夹角为β。
案例二：已知直线AB的实长为60 mm，且知投影a′b′及A点的水平投影点a，求直线AB的水平投影。
解：（1）思路分析：一般情况下解题有两种思路即正推和反推，如果此题从给定条件a’b’可以得到A、B两点的坐标差值，由此差作为一直角边，实长作为斜边，可以构成一直角三角形，则另一直角边即为AB的水平投影长ab。如果此题本是求点B的水平投影，需要知道直线AB的水平投影长ab，要求ab的长度又需要知道直线AB的Z坐标差值和实长，而这两项正好在给定条件中可以找到。
（2）作图过程（见图9）。
①以b′为圆心，60mm为半径作弧，与过a′的水平线交于d，则cd为水平投影长ab。
②以a为圆心，cd为半径作弧，交b′c的延长线于点b和b1两点，连接ab或ab1即为直线AB的水平投影，故本题有两解。
通过上述案例分析，我们可以总结出直角三角形法的作图规律如下。
（1）以线段投影的长为一直角边。
（2）以线段的两端点相对于该投影面的距离差值为另一直角边，该距离差值可以从线段的另一投影图上截取。
（3）所作直角三角形的斜边即是线段的实长。
（4）斜边与该投影面的夹角就是线段与该投影面的倾角。
所以，在求夹角α时，必须要用线段水平投影长与该线段两端点的高度坐标差值作直角三角形；在求夹角β时，必须要用线段正面投影长与该线段两端点的前后坐标差值作直角三角形。同时也知道只要已知其中任意两个要素，即可通过直角三角形求得另两个要素。
3 结论
通过上述探讨，我们可以知道直角三角形法是通过分析一般位置直线的空间位置与它的各个投影之间的关系，得到包含直线实长及其对投影面的倾角α、β、γ的直角三角形，以达到求解目的。
