把数学思想方法的种子播种在学生心田
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0147-02
数学基础知识和数学思想方法是贯穿数学教材的两条主线：其中数学基础知识是一条明线，直接用文字形式写在教材里；数学思想方法则是一条暗线，蕴藏于数学教材的每一个知识点之中。数学思想方法是对数学知识内容和所使用的方法的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼出来的一些观点，是对数学规律的理性认识，是数学学习的精髓、数学的灵魂。正如日本数学教育家米山国藏在从事多年的数学教育之后所说：“作为知识的数学如果进入社会之后没机会应用，出校门后一两年可能就忘了，唯有那种铭刻于脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们工作和生活中发挥着作用。”在教学中渗透数学思想方法，才能促进学生数学学习的可持续发展。
一、研究教材，挖掘数学思想方法
数学思想方法不像一些概念、公式、性质等明显地写在教材中，而是呈隐蔽的形式蕴含在数学知识体系里，数学思想方法的渗透是以数学知识为载体，在学生学习过程中悄悄地得以完成的。小学数学中常用的数学思想方法有：转化思想、类比思想、数形结合思想、假设思想、对应思想、猜想验证思想、极限思想、符号化思想等。我们在钻研教材设计教案时要站在数学思想方法的高度，对教学内容用恰当的语言进行深入浅出的分析，把隐藏在具体知识内容背后的思想方法挖掘出来，使之成为学生可以理解、可以学到手的知识。每一章节要渗透哪些数学思想方法？应如何结合具体的教学内容进行渗透？这些问题我们在备课时都要考虑到。
课程标准把数学教学分为“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四大知识领域，每一知识领域的教学对数学思想方法的渗透都有不同的侧重，例如“数与代数”的教学着重渗透函数思想、符号化思想、极限思想等；“统计与概率”的教学着重渗透统计思想、分类思想等；“空间与图形”的教学着重渗透猜想与验证思想、转化思想等。但这些并不是绝对分开的，只是侧重不同，比如，“数与代数”这一知识领域的教学也经常渗透转化思想、分类思想等；“空间与图形”这一知识领域的教学同样经常渗透符号化思想、数形结合思想等。
只有认真研读教材、深刻分析教材、将编者的意图吃透，才能充分挖掘教材中的隐性资源。从知识中挖掘方法，从方法中提炼思想，只有这样，才会真正领悟隐藏在知识背后的思想方法。
二、组织探究，渗透数学思想方法
数学知识的探究过程，实质上也是数学思想方法的发生过程。比如概念的形成、公式的推导、规律的发现等都蕴涵着丰富的数学思想方法。数学思想方法是抽象的，课堂上，我们要本着“知识再创造”的理念组织教学，学生只有亲身经历知识的形成过程，才能对数学知识和数学思想方法产生体验，在参与的过程中才能逐步领悟内在的数学思想方法。下面结合自己的课堂实例谈几个常用的数学思想方法。
1.数形结合思想方法
数形结合是一个重要的数学思想方法，数与形是数学教学研究对象的两个侧面，数形结合即是把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题。借助于图形可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、易于理解；另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”
比如，教学“两端都栽的植树问题”时，为了使学生真正理解“棵数”与“段数”之间的关系，课堂上采用“动手实践与合作交流”相结合的学习方法，组织学生进行“模拟植树”。借助直观、形象的图形帮助学生理解掌握 “棵数=段数+1”、“段数=棵数-1”这一抽象的代数问题。通过“模拟植树”这一课堂活动就是有目的地向学生渗透“数形结合”思想，让学生体会到直观图形可以帮助自己理解一些抽象的数量关系。
2.类比思想方法
类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去，导致发现新规律。如：“加法结合律”类比迁移到“乘法结合律”、“万以内数的读法”类比迁移到“多位数的读法”、“商不变的性质”类比迁移到“比的基本性质”、“除数是两位数的除法计算”类比迁移到“除数是三位数的除法计算”等。类比是一种重要的数学思想方法，没有类比，就无法归类，无法迁移。类比可以使学生触类旁通，发现知识的共性，找到知识的本质。教学上，利用类比的方法组织教学，既可以复习以前的知识，又很自然地引入新知教学，促使学生对知识的正迁移。
如教学“比的基本性质”时，课初我给学生设计了两道复习题：①说一说商不变的性质和分数的基本性质。②说一说比的前项和后项同除法、分数有什么联系。通过这两道复习题的思考，引导学生探究得出比的基本性质，并鼓励学生举例验证自己的猜想。这样的教学符合学生的认知规律，同时也使学生认识到知识是可以迁移的，类比是一种很好的学习方法。
3.转化与化归思想方法
转化与化归思想是解决问题的一种基本思想，转化就是把数学问题由一种形式变换成另一种形式，化归就是把待解决的问题通过转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。通过转化，把不熟悉的、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题。例如：异分母分数加减法转化为同分母分数加减法、小数除法转化为整数除法、分数除法转化为分数乘法、平行四边形的面积转化为长方形的面积进行公式的推导等。转化与化归是经常用到的一种数学思想方法，匈牙利数学家路莎?彼得语曾经说过：“数学家们也往往不是对问题进行正面的攻击，而是将它不断地变形，直到把它转化为能够解决的问题”。 如教学“圆的面积”这一课，我先给学生复习长方形、平行四边形、三角形等一些平面图形的面积公式，接着，问学生：“在以前的学习中，我们是怎样推导出平行四边形、三角形、梯形的面积公式的？” 生答：“是把它们转化成已学过的平面图形进行推导的。”我说：“没错，转化是一种很重要的学习方法，今天学习圆的面积，我们同样可以把圆转化成已学过的平面图形。” 接着，启发学生把圆平均分成若干个扇形，剪开后把这些扇形拼成已学过的平面图形去推导圆面积公式。学生通过分一分、剪一剪、拼一拼等操作，把圆转化成近似的长方形、近似的三角形、近似的梯形等，推导得出：S=兀R2。
生1：把圆平均分成若干个扇形，然后拼出一个近似的长方形，长方形的长相当于圆周长的一半（即兀R），长方形的宽相当于圆的半径（即R）。因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积S=兀R×R=兀R2
生2：把圆平均分成若干个扇形，然后拼出一个近似的三角形，三角形的底相当于圆周长的1/4（即1/2兀R），三角形的高相当于4条半径的长度（即4R）。因为三角形的面积=底×高÷2，所以圆的面积S=1/2兀R×4R÷2=兀R2
生3：把圆平均分成若干个扇形，然后拼出一个近似的梯形，梯形的上底加下底之和相当于圆周长的一半（即兀R），梯形的高相当于2条半径的长度（即2R）。因为梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，所以圆的面积S=兀R×2R÷2=兀R2
4.极限思想方法
极限思想是一种重要的数学思想方法，它蕴涵着丰富的辩证唯物主义思想。早在公元3世纪，我国杰出数学家刘徽在创立“割圆术”的过程中，就丰富和发展了极限思想。现在我们教学圆面积计算公式时，通过多媒体课件演示，让学生明白，当把圆分割成无限多个扇形时，拼成的图形就越接近长方形。教材中蕴涵着极限思想的教学内容很多，如：直线和射线的长度、自然数的个数、一个数的倍数、循环小数、圆有无数条半径、无数条直径……
在教学“圆的认识”这一课时，我除了让学生认识圆各部分的名称和特征外，还有意在课件上出示一组图：正方形――正八边形――正十六边形――正三十二边形……圆，让学生领悟到：无限多边形的尽头就是圆。教学中，我有意挖掘，并抓住适当的时机，给学生渗透极限思想。
5.符号化思想方法
用符号化的语言（ 包括字母、数字、图形和各种特定的符号） 来描述数学的内容， 这就是符号化思想方法。以符号的浓缩形式可以表达大量的信息，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来， 便于记忆， 便于运用。小学数学常见的有代数符号、公式符号、定律符号等，如：加法交换律用字母表示为a+b=b+a 、加法结合律用字母表示为（a+b）+c=a+（b+c）。
符号化思想在小学数学教学中随处可见，教师要有意识地进行渗透。教材从一年级开始就用“（ ）”或“□”代替变量 x ，让学生填数。例如：2+3=（ ），4+□=9， 8=□+□+□+□+□+□+□；再如：学校有8个球，又买来5个，现在有多少个？要学生填出□ ○ □ = □ （个）。在教学“用字母表示数”时，我设计了下面这一有趣的情境，课件播放学生熟悉的儿歌：“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，扑通两声跳下水；三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿，扑通三声跳下水；……”要求学生用字母表示儿歌中的数。这首念不完的儿歌用字母表示其中的数字就可以浓缩成一句话：N只青蛙N张嘴，2N只眼睛4N条腿，扑通N声跳下水。学生从解题中会进一步明白用字母表示数的优越性，大量的数学信息用一句含有字母的话就表达出来了。
在新知探索阶段，学生只有亲身经历知识的形成过程，才能真正领悟隐藏在知识背后的数学思想。这样，学生所掌握的知识才是富有生命力的、可迁移的，才能真正提高学生的数学学习品质。
三、巧设练习，应用数学思想方法
教材中，同一教学内容可蕴含几种不同的数学思想方法，而同一种数学思想方法又常常分布在不同的知识之中。教学时，我们要有针对性地设计一些练习题，鼓励学生运用体验过的数学思想方法去发现、分析和解决问题，让学生在头脑中留下深刻的印象，提高学生运用数学思想方法解决实际问题的能力。
曾经聆听过刘德武老师执教的《小数乘法与学习策略》，本课是在学生学习了《小数乘法》计算方法之后设计的一节练习课，通过不同层次的练习分别向学生渗透了转化、比较、择优、排除等数学思想。再如，《两道土论圆周》这节有关圆周长的练习课，老师引导学生用猜想、验证、推理、假设、迁移等方法解决问题。观摩这两节课，给我的教学带来了很大的启示，在那以后的教学中我也经常精心设计一些练习课，鼓励学生运用数学思想方法寻求解题策略，效果很好。
四、总结反思，强化数学思想方法
总结反思是课堂教学整体优化的重要环节，可以使课堂教学的结构严密、紧凑、融为一体，还能引发学生向更深层次探究。当问题得到解决后，教师要有意识引导学生进行反思，反思自己的思维过程，反思自己是怎样发现问题、分析问题的，在探索问题的过程中运用了哪些数学思想方法。还要引导学生对所学的数学思想方法进行纵向的总结，比如学习了“圆的面积”之后，让学生去回忆：学习哪些知识时也是运用了“转化与化归”这一思想方法。学生在学习中既有横向反思又有纵向总结，可以让自己的思维得到良好的培养与发展。教学时，站在领悟数学思想方法的高度引导学生理解知识，才能准确把握知识的本质和内在规律，达到真正的学习。
数学思想方法是将知识化为能力的桥梁，数学思想方法的渗透要循序渐进，要持之以恒、反复训练。寓数学思想方法于平时的教学之中，把数学思想方法的种子播种在学生心田，让它开花、结果。
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