从《算斋锁语》看华蘅芳对数学的认识
中图分类号：G623.5 文献标识码：A文章编号：1006-4117（2011）08-0245-01
华蘅芳（1833～1902），字若汀，江苏常州金匮（现无锡市）人。是我国清末科学家、翻译家、数学家，更是“嘉惠后学”的数学教育家。
一、数学认识论――对数学（算学）的理解
（一）数学作用――“数居六艺之末，不过一种技艺耳”。华先生虽然当时对西方数学知识有一些理解，但其对数学的理解，还是侧重于“算学”方面，和我们现在理解的数学（数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的学科）仍有很大区别。“算学（算术）”这个词，在我国古代是全部数学的统称。“算”字在中国的古意是“数”的意思，表示计算用的竹筹。中国古代的复杂数字计算都要用算筹。所以“算学”包含当时的全部数学知识与计算技能，流传下来的最古老的《九章算术》，就是讨论各种实际的数学问题的求解方法。所以，数学是一种技艺。
（二）数学内容――“一切算法总不外乎加、减、乘、除、开方”
1、加、减、乘、除、开方五法是整个算法的核心――“犹农夫之耒耜（?），樵子之斧斤，渔人之网罟（?），匠者之刀锯锥?也”、“不习此五法，必不能算”，而且它们之间有着密切联系：“乘除从加减而生，乘方、开方又从乘除加减而生”。乘除法是加减法的更高一级运算，乘方、开方又是乘除法的更高一级运算；“算法中各事皆可彼此互求，则断无不可还原之理。减者，加之还原也；除者，乘之还原也；开方者，乘方之还原也”。减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，开方是乘方的逆运算。2、对算法难易的理解――“算法无所谓难易”。首先，“除难于乘，乘除难于加减，而开方又难于乘除”；其次，“若论其变，则数位之乘除尚易于数十次之加减，而一两位之开方尚易于十余位之乘除”。多次的加减法要比少位少次的乘除法更困难一些，多位数的乘除比少位数的开方更困难，这些道理是明显的。最后，“推算时，若但用加减、但用乘除、但用开方，皆非难为之事。若一术之中，于乘除外，又作加减，而加减后再作乘除，或乘之再乘，除之再除，或须再作开方，则心思被其惑乱，往往颠倒舛（？）错而不自知，岂非难事哉？”，多种运算混合在一起要比单独进行一种运算显然更困难。因此，“算法无所谓难易”，难易是相对的。3、对算学难易的理解――“算学无所谓浅深”。用举例的方式说明了数学题目难易是相对的不是绝对的。把多道浅显的题目合成一道新题，题目难度就会比之前加强。
4、对算法与算器的比较――“算法与算器皆各有所长，亦各有所短。”他指出，“珠盘便于多次之加减，而不便于开方；筹与笔便于乘方、开方，而于多次之加减则不便；对数于乘方、开方极便，而不能作加减之事；天元不受除（？）代数，不便开方”。他做了大胆预测“吾意后世必有能创一器，立一法而各事皆便者”。现今的计算器不就可以进行加、减、乘、除、开方五种运算吗？借助计算机还可以进行更加复杂（矩阵、积分等）的计算和证明数学定理。
二、数学学习观――对数学学习的认识
（一）语言要求――“学算之人不可不通文义，能通文义，则可读古今之数学之书”。其实无论是学习什么知识，必要的语言是最基本的要求，语言是交流的平台，有了共同语言才可能去交流不同时代不同地区同一学科或不同学科的知识。我们今天学习英语等各种语言不也是出于这种目的吗？
（二）学习要求――“议论可质诸之师友，著作可付之手，民(敏？)文字之为用大矣哉”。他强调，在学习算学时一要勤于做学习笔记，因为做笔记能把自己的想法或疑惑之处及时记录下来，以免时间长了忘记；二要善于请教讨论。“三人行必有我师”，向老师请教、与同行讨论对学习大有益处，我们现在同样也提倡这种方法（比如举办各种讨论班、论坛等）;三要真正搞懂各种算法的用处，“习此五法而不知其用，亦不能算各种之题”。只有这样，对于较复杂的题目才能层层分清、步步解决，正如其在举例中所说“能记其曲折方向，何难循原路以出哉？”。四要“久久阅之且屡作屡辍以阅之”。“算书中之新理、新法，骤阅之固不能明，即数阅之且反复思之，亦未必能尽明，何也？盖仍未将书中之一字一句无不毕见也”。
（三）解题要求――“凡遇算学之题，须仔细看明，务将题中之层次、曲折次第分开”。算学中不外乎加、减、乘、除、开方五法，各种题目的解决也离不开这几种方法。所以，要解决算学题目，就要将题目进行分解，搞清具体层次，做出思路图，“譬如行路之人先开一路程单或作一路程图，以便舟车之用，则可免迷路之虞也”，这样才能“知用何法可以驭之，从何处入手则易，何处入手则难，何者为正法，何者为捷径，然后可动手推算”，最终把问题解决。此外，在解题要善于计算，“与其审视许久方得明晰，何如勤笔免思之得计哉？”。算草要写得清清楚楚、明明白白，保存的完完整整――“凡作算草，必须先写其题，题之出于何处亦须注明。草有数纸者，必首尾粘连，多则订成一册，若不如此，则他日阅之不知所算何题，且将以此草之首接于彼草之尾，颠倒错杂，自己亦不能收拾矣，何况他人”。
（四）写书要求――“凡作算学之书，算草、图说之外，必参以议论”。他认为写算学之书时，作者一定要有自己的观点，并将个人理解和题目反应的道理写入书中；要“常存一惟恐人不明之心”，设身处地，换位思考，“设想此处我若未明，则将如何疑虑，必将其所以疑虑之故一一说出。然后解释之，则读者以为先得我心，自能豁然开朗矣”，这样别人看了才能明白。对于那些“以空虚无本之学敷衍成篇”、“辍拾陈言，?F列名目，动辄诋毁古人”的书目，华先生认为是没有任何实际意义的。
作者单位：张家口教育学院数学系
