Mathematica在经济数学中的应用
1 概述
经济数学教学遵循“以应用为目的，理论知识以必需够用为度”的原则，淡化概念，注重应用。因此，在教材中应融入经济数学教学实验的新概念，引导学生运用现代信息技术手段解决问题。面对高职学生，Mathematica数学软件在数学的理论知识与应用之间架起了一座桥梁，将数学中复杂的运算与计算机结合，使之变得更具体容易理解，增强了学生学习数学的兴趣，培养了学生的实践能力和创新能力，帮助学生在实践的基础上进行创新。
Mathematica数学软件是一个功能强大的数学软件，它是美国伊利诺大学复杂系统研究中心主任、物理学、数学和计算机科学教授Stephen Wolfram负责研制的。学生在学习微积分初期必须掌握的求函数的极限、导数、积分的运算，借助Mathematica软件的强大的数值运算功能，从而解决生产管理和经济金融中的计算问题。
2 Mathematica软件的基本命令
双击Mathematica软件的图标即可启动Mathematica软件。在其命令窗口中输入命令，如Sin[Pi/2]，然后按下Shift与Enter键即可执行相应的命令。在输入的命令中出现提示符“In[1]：=”，其中，“In”表示“输入”，数字1表示输入命令的序号；在运行结果之前会自动出现提示符“Out[1]=”，其中“Out”表示“输出”。
3 数学软件Mathematica在经济数学中的应用
3.1 用Mathematica计算极限
3.1.1 相关Mathematica软件命令
Mathematica系统中，求极限的语言是“Limit[函数，自变量→数值或∞]”
即Limit[f（x），x→x0]
3.1.2 案例分析
例1 计算■■
In[1]：=Limit[Sin[3x]/x，x→0]
Out[1]=3
例2 计算■■
In[2]：=Limit[1/x，x→0，Direction→1]
Out[2]=+∞
例3 某储户将100万元的人民币以活期的形式存入银行，假设年利率5%，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计息税的情况下，若储户等间隔的结算n次，每次结算后将本息全部存入银行，问：一年后该储户的本息和是多少？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为千万富翁？
解：若每次计息一次，那么本利和为
10000001+0.05
若每年计息两次，那么本利和为
10000001+■■
若每年计息三次，那么本利和为
10000001+■■
若每年计息n次，那么本利和为
10000001+■■
随着结算次数的无限增加，即n→∞，故一年后本息和共计：■10000001+■■
输入：Limit[10000001+■■，n→∞]
输出1.00501×106
即一年后该储户不会成为千万富翁。
3.2 用Mathematica计算导数
3.2.1 相关Mathematica软件命令
Mathematica系统中，求导数的函数为：“D[函数f[x]，自变量x]”用于求函数f[x]的一阶导数，即D[f，x]；“D[函数f[x]，自变量x，阶数n]”用于求函数f[x]的n阶导数，即D[f，{x，n}]。
3.2.2 隐函数与由参数方程确定的函数的导数
求隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数，需将求导命令与其他命令结合起来，才能奏效！与笔算的做法一样，先在方程两边对变量x求导，再从所得方程中解出y′（x）即可。这两个步骤分别可由以下两个语句完成：
D[f（x）==0，x]
Solve[%，D[y[x]，x]]
将它们合并，就成为Solve[D[f（x）==0，x]，D[y[x]，x]
运行之后可求出y′（x）。
3.2.3 案例分析
例4 计算3xn的一阶导数
In[3]：=D[3xn，x]
Out[3]=3nxn-1
例5 计算y=ln（1+x）的二阶导数
In[4]：=D[Log（1+x），{x，2}]
Out[4]=-■
例6 求由方程xy-ex+ey=0确定的函数y=y（x）的导数。
In[5]：=Solve[D[x*y[x]-e^x+e^y[x]==0，x]，D[y[x]，x]]
Out[5]={{y′[x]→■}}
例7 某工厂生产某种商品，年产量为q（单位：百台），成本C（单位：万元），其中固定成本为2万元，而每生产1百台成本增加1万元，市场上每年可以销售此种商品4百台，其销售收入R是q的函数R（q）=4q-■q2，q∈[0，4]，问年产量为多少时其利润最大？
分析：要求利润函数L（q）=收入函数R（q）-成本函数C（q），其中R（q）是已知的，C（q）是未知的，因此，确定C（q）是最基本的。而固定成本为2万元，生产q单位商品的变动成本为1?q万元。所以成本函数C（q）=q+2，q∈[0，∞]，由此的利润函数L（q）=R（q）-C（q）=3q-■q2-2，q∈[0，4]，则 L′（q）=3-q，q∈[0，4]，令L′（q）=0得q=3，又因为L″（q）=-1<0，所以q=3是唯一的极大值点。 In[6]：=Clear[f，q]
f[q_]=3q-■q2-2
Solve[D[f[q]，q]==0，q]
D[f[q]，{q，2}]
Out[7]=-2+3q-q2/2
Out[8]={{q→3}}
Out[9]=-1
3.3 用Mathematica计算积分
3.3.1相关Mathematica软件命令
在Mathematica系统中，求不定积分的函数为“Integrate[函数f[x]，自变量x ]”，即Integrate[f，x]。求定积分的函数为“Integrate[函数f[x]，{积分变量x，下限a，上限b}]”，即Integrate[f，{x，a，b}]。
3.3.2 案例分析
例8 用Mathematica求■xarctanxdx
In[10]：=Integrate[xarctanx，x]
out[11]=■-x+1+x■arctan[x]
例9 用Mathematica求■lnxdx
In[12]：=Integrate[Log[x]，{x，1，y}]
out[13]=1+y*（-1+Log[y]）
4 结束语
总之，经济数学中关于函数求极限、求导、求经济函数最值问题、求不定积分和定积分等问题构成了经济数学的基本内容，也是学生学习和计算的重点和难点，引入Mathematica 软件进行经济数学教学，将理论学习与Mathematica软件使用相结合，有利于培养学生学习数学的兴趣，提高学生运用数学知识和数学软件分析、解决经济问题的能力。
