数学分析与中学数学脱节内容教学研讨
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）07（a）-0137-02
数学分析属于数学类专业必修的重要基础课，在整个自然科学中处于基石地位，并广泛地应用于自然科学的各个领域。学好数学分析是学好复变函数、泛函分析、微分方程、微分方程的数值解、微分几何、概率论、普通物理等其它后继数学课程的必备基础。同时，在数学类专业所有的专业课程中，数学分析与中学数学的联系最为紧密。
近些年来，随着中学数学教材改革的进展，中学数学教学内容变化已经非常之大，数学分析的部分内容已经逐步地引入到中学数学教材中。反之，部分以前必修的教学内容，成为了选修内容，甚至少部分在数学分析中必要的基础，由于高考不考，在中学课堂上老师不予讲解，学生完全不知道。而与之对应的是，数学分析作为专业基础课程，内容变化一直不大，并没有根据中学数学教材的改革作出相应调整，这样就造成数学分析的教学内容与中学数学的教学内容的脱节。一方面是教学内容的重复，浪费数学分析的教学课时；另一方面是必须的基础缺少，学生接受新知识有困惑与障碍。
该文研究时，数学分析采用华东师范大学数学系编写的第四版《数学分析》教材，中学数学教材采用人教A版的《普通高中课程标准试验教科书?数学》教材。把数学分析与中学数学教材内容进行对比，将脱节之处以重复与缺少两个角度进行分析，以数学分析的教学模式进行教学研讨，适当增减数学分析的教学课时，并具体分析增加的教学课时的教材教法，希望对数学分析的教学有所帮助。
1 需要减少教学课时的内容
已进入中学数学教材中的内容主要分四个方面：求导数方面，有四则运算求导法则，复合函数求道法则，导数公式中六类函数的导数，但是无证明过程；导数的应用方面，有利用导数的符号判断函数的单调性，极值的简单概念与应用；求积分方面，有不定积分的相关概念，定积分的引例，几何意义，性质，牛顿-莱布尼兹公式；定积分的应用方面，有定积分的应用中求平面面积，变力做功。
因此，数学分析中，第五章第二节求导法则处，可以减少一节教学课时；第六章第一节函数的单调性处，可以减少一节教学课时；第九章第二节牛顿―莱布尼兹公式处，可减少半节教学课时；第十章定积分的应用处，可减少一节教学课时。
2 需要增加教学课时的内容
2.1 三角函数
三角函数处，增加一节教学课时。主要是介绍余切函数，正割函数，余割函数的定义与图像，并介绍下面这些公式。
（1）平方公式
，
（2）积化和差公式
（3）和差化积公式
（4）万能公式
讲解时给出公式的证明，以利于学生推导应用。同时复习其它公式，如中学中已经学过的二倍角公式，诱导公式等。讲解三个新的三角函数的图像时，可以顺便把其它三个三角函数的图像简单复习一下。讲解完后适当练习，如化简，证明等，既熟悉公式又为后面的应用做准备。
2.2 反三角函数
反三角函数处，增加半节教学课时。主要是介绍反正弦函数，反余弦函数，反正切函数，反余切函数的定义，定义域，值域，与三角函数的关系，它们的图像，以及它们的性质，。讲解图像时特别注意为后面的极限埋下伏笔，如。
2.3 极坐标变换
极坐标变换处，增加两节教学课时。主要是介绍极坐标系的建立，点的极坐标，点的极坐标与直角坐标互换，平面曲线的极坐标方程与平面直角坐标方程的互换，利用描点法按照极坐标方程作出曲线的图像，常见的极坐标方程，最后三个方面在讲解时要结合起来。
（1）坐标变换分为利用直角坐标求极坐标，以及利用极坐标求直角坐标。
（2）常见极坐标方程如射线方程，与坐标轴垂直的直线方程，（为常数），圆周曲线方程，，，三叶玫瑰线，心形线（或称外摆线），螺旋线，双纽线等。
上述增加课时的内容，可以把课时增加在第一章第三节函数概念处，将原教学计划中的两节改为五节即可。
3 增加教学课时的内容与后面教学内容的联系
3.1 三角函数与反三角函数图像
函数极限与曲线的渐近线需要三角函数与反三角函数的图像。如的垂直渐近线，的水平渐近线，函数极限，等。
3.2 三角函数中的公式
函数极限与积分的计算需要三角函数中的一些公式。如不定积分中三角函数化为有理函数的万能换元，，
，
等。
3.3 三角函数与反三角函数的定义
导数、微分、积分的公式与计算需要三角函数与反三角函数的定义。如、
、、、、、
的导数、微分、积分公式以及用它们求其它函数的导数、微分、积分。
3.4 极坐标变换
含参变量函数的导数，定积分在几何学上的应用，二重积分的极坐标变换，三重积分的柱面变换，这些内容都需要极坐标变换。如求心形线的切线与切点向径之间的夹角，三叶玫瑰线所围图形的面积，螺旋线的弧长，双纽线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积，二重积分等。
这些增加教学课时的内容，搞清楚它们用在那里，怎么使用。我们讲解的时候才能有的放矢，讲解的更加深入透彻。
