例谈作为课程资源的小学数学教材的创造性使用
作为课程资源重要内容之一的教材，是学生学习知识内容的重要载体，也是教师设计教学活动、组织教学过程的重要依据，但教材内容并不是不能调整与改变的。事实上，在实际的课堂教学中，调整教材内容、对教材进行创造性处理的情况，还是普遍存在的。笔者曾在《小学数学教师》上探讨过关于“教材使用”的一些想法与建议，提出了两个观点：一是在内容理解上，做好追本溯源，充分理解知识内容的本质内涵，让自己站在更高的位置上把握学生学习过程中的着力点，引导学生有针对性地学习；二是在使用策略上，做好学情调查，了解学生的学习起点，让自己站在学习者的角度上思考学习路径，恰当处理教材定位与学生发展之间的关系，准确把握学习过程的生长点。核心意思便是强调教材作为一种课程资源，应该服务于学生学习，而不是灌输给学生知识。教师只要是在充分理解内容的基础上，对教材做出合理调整，都是可取的，是值得鼓励的。本文就此主题结合人教版数学三年级上册《倍的认识》一课的教学实践再作展开讨论。
一、从教材编写者对《倍的认识》在学习时间点上的调整，认识“教材作为课程资源”的内涵
建构主义教学观认为：“学习不是把外部知识直接输入到心理中的过程，而是主体以已有的经验为基础，通过与外部世界的相互作用而主动建构新的理解、新的心理表征的过程。”此观点的意思可以这样解读：学习不是单向的过程，而是学习者自身经验与知识内容相互作用的过程。优质的课程资源，不是简单的知识呈现与提供，而是一个切合学习者已有认知经验的、适时恰当的互动过程。
《倍的认识》一课，人教版数学曾编排在二年级上册，学生学习了“表内乘法――7的乘法口诀”之后。显然，这个时候学生还没有学习“除法”的相关知识，所以无法借助“除法的意义”来理解“倍”的等分含义，借助“乘法的意义”和已有的生活经验认识“倍”成为唯一途径。2013年修订后的教材中，将这节内容调整到三年级上册，在学习时间点上，几乎是推迟了一年。正是这一年的学习，学生不仅在认知能力上有所发展，学习经验也更为丰富，更重要地体现在知识储备上，学生有了“除法意义”的学习，且经历了“表内除法（一）”和“表内除法（二）”两个单元直接对“倍”的认识起到关键作用内容的学习，显然学生此时学习理解“倍”的结构模型，有了更为丰富的认知基础和更具逻辑支撑的知识基础了。
我们说，当课程资源与学习者经验不相适应时，往往对学习者的学习造成相应的困难。此时，对课程资源做出调整也是必然的选择。同样，《倍的认识》这节内容仅仅基于乘法意义的经验来理解，还不足以很好地实现目标，理解“倍”的模型时，教材编写者将其调整到“除法”知识的学习之后，便是一种比较恰当的处理。这也是教材作为一种课程资源的必然选择。
二、调整后的教材关于《倍的认识》一课的编写特点与不足
“倍”产生于量与量之间的比较，其实质是除法中“等分”意义的扩展。如甲量是乙量的4倍，既可以理解为“红气球的个数是蓝气球个数的4倍”，也可以理解为“第二行的圆片数是第一行圆片数的4倍”，还可以理解为“甲车运的货物重量是乙车运的货物重量的4倍”“小红做作业用的时间是小明的4倍”，等等。这里的“蓝气球的个数”“第一行的圆片数”“乙车运货量”“小明的作业时间”等均是单位“1”的量，“4”即是以单位“1”为标准的，这样的“4份”。甲量与乙量之间的4倍关系可以用以下图式模型来表示：
在调整后的人教版数学教材中，《倍的认识》一课的主体材料是这样的（如下图）。与教材相配套的《教师教学用书》做了如下解读：通过比较胡萝卜（2根）和红萝卜（6根）的数量，根据3个2根的关系，引出“一个数的几倍”的含义；把红萝卜每2根圈起来，清楚地体现了两种萝卜数量之间的关系。通过“圈一圈”，让学生能在动手操作中比较白萝卜与胡萝卜数量之间的关系，由旧知识“几个几”转化为新知识“倍”的含义。
教材设计的意图是：因为对“整数倍”学生是第一次接触，意在引导学生经历“从对生活中具体实物数量的比较中抽象出倍的过程，通过3个2根及5个2根的关系，引出‘一个数的几倍’的含义，在‘几个几’的基础上认识倍，再从除法的角度理解倍的概念，让学生认识到倍的本质是两个数量在相互比较，即一个量里包含了几个另一个量，就是它的几倍”。
从教材内容与《教师教学用书》的说明来看，关于“倍”的认识，教材借助于包含了“倍”的标准模型的材料，引导学生理解、建构“倍”的模型。整个过程，起于标准模型，终于标准模型。这样编写的出发点更多缘于学生的年龄特征，认为此年龄段的学生只需理解与掌握到这个水平即可。但不足也是显而易见的。因为学习材料单一，学生对“倍”的认识局限于标准模型（即“整数倍”），而碰到一般的非标准模型（即“非整数倍”）时，往往就一筹莫展了。这样缺乏丰富的一般性背景材料作为支撑的“倍”的模型建构过程，显然是窄化的、缺乏生?L性的。解决这一问题，需要从学习材料的调整进行实践。
三、基于教材内容处理后的《倍的认识》一课的教学设计
在实际教学中，笔者从教材定位出发，拓展学生的认知背景，从“整数倍”扩展到“非整数倍”，设计了三个层次的学习活动，试图通过创造性地处理教材，引导学生比较好地完成了学习任务，有效达成了学习目标。
1.源于教材：以教材内容为载体，引导学生认识“倍”的基本结构
活动一：解读情境，提出问题 呈现情境图（课本例1主题图），提出问题：你从图中看到哪些信息？
从学生的回答中整理出以下信息：
胡萝卜2根；红萝卜6根；白萝卜10根
再问：根据这些数学信息，你能提出什么数学问题？
学生提出的问题一般有两种：一是求总和的；二是求相差的。
师：除了可以发现和提出“求和”和“求相差”的问题以外，你还能想到什么问题吗？
此处根据课堂的实际情况来做处理。如果学生能说到“倍”的问题，则直接切入；如果学生没说到“倍”的问题，教师可自己提出。（此时板书课题：倍的认识）
然后追问：你觉得“倍”是一个怎样的知识呢？
请学生说说对“倍”的认识。
意图：关于“倍”的知识，对于学生而言，确实是一个全新的内容，但不等于全体学生都没有听说过。此处设计让学生说说关于“倍”的认识的情况，一来唤起学生的认知经验，二来也是引发学生对于“倍”的讨论的兴趣。
活动二：微课学习，初步体会“倍”的数学意义
师：这是你们所知道的“倍”。想不想知道，“倍”到底是怎样的一个数学知识呢？
引出微课，学生观看视频。微课的设计紧紧围绕教材内容，重点说明了“倍”表达的是“一倍量”和“几倍量”之间的关系。
完成后，请学生说说看过后，对“倍”有什么新的认识。
交流中板书关键内容：
1份（即把什么看成1份）；几份（即有这样的几份）；几倍
意图：通?^微课的观看，引导学生初步理解“倍”的意义，感知“几倍”的含义。然后再让学生谈谈关于“倍”的认识，对“倍”中的基本要素（如1份的量，与含有这样的几份）有一定的感知与理解。
2.高于教材：以拓展内容为重点，激发学生在“变化”中深刻理解“倍”的含义
自主练习：看一看，圈一圈，填一填（设疑引思，引导学生理解“倍”的基本含义）。材料如下图。
[1.第一行：○○
第二行：○○○○○○○○○○○○
第二行的圆片个数是第一行的（ ）倍。
2.第一行：○○○
第二行：○○○○○○○○○○○○
第二行的圆片个数是第一行的（ ）倍。
3.第一行：○○○○
第二行：○○○○○○○○○○○○
第二行的圆片个数是第一行的（ ）倍。
4.第一行：○○○○○
第二行：○○○○○○○○○○○○
第二行的圆片个数是第一行的（ ）倍。
5.第一行：○○○○○○
第二行：○○○○○○○○○○○○
第二行的圆片个数是第一行的（ ）倍。
6.第一行：○○○○○○○○○○○○
第二行：○○○○○○○○○○○○
第二行的圆片个数是第一行的（ ）倍。]
这组材料中，前面三题是对“倍”的基本理解，主要是检查学生通过微课学习后对“倍”的意义的理解。第4题是拓展性习题，也是这个练习设计的关键材料。教学中可以这样处理：
（1）第4题的答案，估计很多学生会写2倍，于是先请学生说说写“2倍”的想法，体会2倍是哪一部分，对于多的“2个”无法处理，可先不作讨论。
（2）讨论第5题，确认第5题的答案肯定是“2倍”，再次理解因为正好含有2份，所以是2倍的道理。
（3）引导学生比较：第4题中的“2倍”与第5题的“2倍”，哪个才是合适的？引发学生对第4题中“2倍”的思考：指的是哪一部分？
最终通过引导学生在对“2倍多几”或“3倍少几”的讨论中，进一步理解“倍”的含义。当然在教学中，需要延展到，“拿掉2个，就正好是2倍”与“添上2个，就正好是3倍”的理解。
意图：关于“倍”的知识，学生概念中“几倍”的认识一般是对整数倍的理解相对比较容易，而对于几倍多几与几倍少几中的“倍数”理解会存在较大的困难。此环节主要结合这种非标准模型的材料中的“倍数”的讨论，深化对“倍”的理解。
3.回归教材：重新设计教材练习，引导学生在体验中建构“倍”的模型
拓展练习：想一想，画一画，比一比（结合画图，充分理解与建构“几倍”的模型）
情境：小红和小丁摆△。小红摆的个数是小丁的4倍。
问题：小红和小丁分别摆了多少个呢？
请学生将自己想好的答案画在纸上。
此处反馈重点抓好：
一是呈现几种不同的情况，如小丁1个，小红4个；小丁2个，小红8个；小丁3个，小红12个（如下图），等等。
[小红：△△△△
小丁：△] [小红：△△△△△△△△
小丁：△△] [小红：△△△△△△△△△△△△
小丁：△△△] [△△△△
小丁] [小红][△△△△△△△△
△△△△△△△△]
二是重点讨论：这些表示“小红摆的个数是小丁的4倍”的方式，有什么特点？
三是选择有画得不恰当的材料，讨论问题所在，并设法改进。
意图：这是一个检验学生对于“倍”是否真正理解的环节，同时也是帮助学生进一步建构“倍”模型的环节。当然，完成这个任务的要求还是比较高的，所以选择材料时不一定完整，但最好寻找到典型材料。
四、教材重新处理后的《倍的认识》一课的教学带给我们的启示
1.教材需要尊重，但可以突破
突破教材是需要有对教材的深刻解读与系统把握为基础的。从某种意义上说，教材本身是有系统性的。尊重教材的系统性，是每位教师需要把握的解读教材与使用教材的基本原则之一。但对于某个知识点而言，则是可以根据学生的学习基础与学习能力有所突破的。 如教学《倍的认识》一课，我们对教材的理解是，学生从加法结构过渡到乘法结构，本身是一个转折，“学生的认知结构需要发生一定程度的‘质’的变化”。因此，建构“倍”的模型是重点。但从学习效度上来分析，建构“倍”的模型，教材仅仅围绕基于标准模型?论，显然又是不够的，适当增加非标准模型的“变式结构”，更能引导学生全面、深刻地理解“倍”的含义，建构“倍”的模型。这就是本设计对教材定位上的突破点。于是，我们便设计了“几倍多几”“几倍少几”这一组学习材料的讨论。从长远来看，这也弥补了本套教材后续学习中对这个知识点的缺失的地方（因为这样的问题，在这套教材的后续教学中只在练习中涉及）。
2.基于“学习者经验”的教材处理，既是教学设计的起点，更是教学实施的关键
将教材置于课程理念的背景下审视时，“不论课程内容、学科知识，还是当代社会生活经验，都只有转化为学习者的经验，才可能成为相应的课程目标”。这也是课程理念下理解与处理教材的关键。
作为课程资源，要真正起到对学生学习有促进作用，必须着眼于学生的知识经验，以引领学生获取更为丰富的经验。从本节内容的教学现状来看，在直观背景下建构“整数倍”的模型，对学生来说并不难。这从学生自学微课后，完成“自主练习”中前三题的情况可以得出结论（此三题学生正确率达90%以上）。于是，便有了“非标准结构”的讨论和基于“4倍”的模型解构的练习。这也是引导学生在多样的数学活动中，丰富“倍”的模型，形成相应的数学基本活动经验。当然，这也是教材作为课程资源时，一位优秀教师能做的，而且必须做的工作。?
