大学生数学学习中的归纳与拓广思想方法
近年来，大学生进入大学的数学学习过程中，只顾一头钻进《高等数学》、《工程数学》、《高等代数》等基本理论的学习，而忽视了数学方法和思想的学习。对全国院校非数学专业的学生来说，大多数没有开设“数学方法论”课程，而中学时期学习的化归、抽象、类比、归纳、推理等方法没有很好的在大学学习中得到继承和发展。
探究数学及其发展，可以看到归纳和拓广（推广）方法是数学和科学研究过程中最常用的思想方法。当我们从已知的经验中引出和总结出最正确的信念来，并建立关于某个问题的正确结论，接着，往往可考虑是否可将某些结论从个别事物推广到一类事物，是否可减弱条件、加强结果，是否可简化证明、推理等等，并得到最终理论。
数学中许多新概念、新理论、新学科的形成和发展，无不展示出归纳与拓广方法的重要作用。例如从长度、面积、体积到R??n的勒贝格测度，乃至一般测度空间和测度理论；从黎曼积分到勒贝格积分，乃至各种抽象积分和积分理论；从具体的代数运算到群、环、域；从直线、平面、三维空间到一般欧氏空间，乃至各种抽象空间等等。
作为数学知识内容的精髓，数学思想方法是数学的一种指导思想和普遍适用的方法，是铭记在人们头脑中起永恒作用的精神和态度。因此，大学生应多加强数学思想方法的学习，提高科学思维水平，增强数学应用能力，建立科学的数学观念，从而发展数学。
一、归纳与拓广思想方法简述
科学家处理经验的方法，通常称作归纳法。归纳法常常从观察开始，考察所收集到的观察结果，对它们加以比较和综合，寻求可能隐藏在它们后面的某些线索。归纳就是得到猜想的过程，将零零碎碎的细节整体简化成有明显意义的整体。正如莱布尼茨所说，“把范围宽广的一个大类属缩减到几个品种，再缩减到少数几种（这样也许是有用的）。而最有用的是把一个大的类属简化到最少的几个品种。”
推广有两种类型，一种是价值不大的，另一种是有价值的。推广之后冲淡了是不好的，推广之后提炼了是好的。推广就是把以前分散在范围广泛的几种概念压缩凝聚成一个概念。群论把出现在代数、数论、分析、几何、晶体学及其他部门中的概念提炼成公共的概念，就是好的推广。
二、《高等数学》中的归纳与拓广思想方法
考察微积分的有关内容，剖析它们之间的内在联系，可以领悟到相应内容中所蕴含的归纳与拓广类比等思想方法。教师在组织安排教学时，若能从思想方法的高度，抓住实质，作好铺垫，留有“接口”，使知识系统化、整体化，就能有助于学生形成良好的认知结构，下面对积分和微分概念、以及级数中蕴含的归纳与拓广方法作具体的探讨。
（一）在微分概念中。
在学习完一元实值函数的导数与微分，又学习了二元实值函数的偏导数与全微分，学生自然就会想到多元函数的导数与微分，但课本上并没有给出多元函数的偏导数与微分的概念，只说可以类似推广到二元以上的函数，并简单的叙述了有关三元函数。这就需要学生学会归纳与拓广的思想方法，将一元函数、二元函数导数与微分的概念推广到n元函数的导数与微分的概念，即有以下:
以上定义还是较容易想到的，但学生在对全微分概念中的高阶无穷小ｏ()还是有一定的困难，原因就在教师如何对一元函数和二元函数微分中的高阶无穷小如何讲解了。教师在讲述一元实值函数的微分概念时，一般都是对△
微分概念还可拓广到无穷维空间。此外，注意到微分概念是一种局部性质，即只涉及到
?瘙 ?? 在点P??0某个领域的性质，因此利用定义2，还可将微分概念拓广到较欧氏空间更广的一类空间――微分流形上去。
（二）在积分概念中。
回忆一元实值函数定积分的背景，其典型问题是求变速运动物体在路程与求曲边梯形的面积，当然也可用于求质量分布不均匀的直线段的质量。再联系二重积分、三重积分、第一型曲线、曲面积分，它们的思想方法（分割、求和、取极限）是一样的，都可以看作是求不均匀物体的质量，只是几何体的形状不同而已。
综上五种积分可知，虽然具体对象不同（直线段，可求面积的平面图形、可求体积的空间几何体V、空间可求长曲线l、空间可求面积的曲面块），但都可归纳为处理同一型式和的极限，更为重要的是在物理、力学、工程技术中大量问题的解决办法，也都归纳处理上述型式和的极限问题，它们统称为
（三）在级数中。
首先，看一问题：把函数11-x+x??2展成x的幂级数（*）
这个问题的解法不只一种。下面的解法可能显得麻烦些，但对数学知识不多的初学者可能显得容易理解些，他只需要知道几何级数之和就够了：
这个结果很值得注意，任一不等于零的系数都是1或-1；相继出现的各系数似乎也有一定的规律，如果多算出几项，这种规律可以看得更清楚，有周期性，各系数按周期循环出现，周期数为6：
自然会设想这周期性能扩展到观察所及的范围之外。但是这只是归纳的结论，或者说仅仅是一种推测，自然不能轻信。不过这是根据事实得出的推测，所以值得认真的检验。所谓的方法之一，是把这猜想写成另一种形式
按此刻的情形，右边可看作是两个几何级数，它们都有同样的公比-x??3，可以把它们加起来，所以这猜想归结为：
上式显然成立，所以证明了这一猜想。
这个例子虽然简单，但是在许多方面却具有代表性。如果要展开一个函数，常常很容易求出头几项系数。然后看看这些系数，应当设法（像这里一样）猜想系数的规律，在猜出其规律之后，像这里一样，然后再设法证明它。先提出一个合理的清晰的猜想命题，然后再作出证明，这样做可能是大为有利的。
三、数学建模中的归纳与拓广思想
数学的应用实质上是数学和所研究的实际问题有机结合的结果，数学建模恰恰体现了人们面对实际问题时应用数学解决问题的能力。而数学建模过程中，归纳与拓广的思想方法更尤为重要。面对实践中得到的大量数据，如何才能归纳总结出规律，得到数学模型，并证明和验证，并对建立的模型进行拓广。下面就简单从三个方面中蕴含的归纳与拓广思想方法作简单的探讨。
（一）保密通讯中的密钥。
如何从一堆密文中找出规律，破译敌方的密码，得到敌方的确定消息。密码学从最初的加密算法――单表密码，到多表密码、现代序列密码体制。利用现代计算机技术，并根据随机序列所具有的一些可检验的性质，我们要求伪随机序列也具有类似的性质，并进行相应的检验。检验通过的才有资格称为伪随机序列，用于保密通讯。我们可归纳总结出有以下五种主要的检验方法：①频数检验；②序列检验；③扑克检验；④自相关检验；⑤游程检验。
（二）（n,k）最小广播图的设计????［3］??和无线电信道分配。
（n,k）最小广播图的设计（2000年南京大学数学建模竞赛A题）和无线电信道分配都是有关信息传播的问题。在这些问题的解决上无一不体现了从简单到复杂、从一维到多维的归纳思想，并将最终的理论进行拓广。
（三）统计回归。
通过对大量实践中得到的数据进行统计分析，找出与数据拟合的最好的模型，并对得到的结果进行分析，对模型进行改进，最终找到事物内在的规律。这样，才能将得到的研究成果进行推广应用。
四、如何学习并掌握归纳与拓广思想方法
要学习好归纳与拓广思想方法，并能运用自如，就需要掌握归纳所拓广的过程，需要科学的学习态度。
（一）归纳与拓广的过程。
思想的适应，语言的适应。归纳过程是把我们的思想认识适应于事实的结果。每当把我们的想法和观察相比较时，其结果可能一致也可能不一致。若与观察事实一致，就对我们的想法更有信心；若不一致，就改变想法。经过多次改变之后，我们的想法就可能较好地符合事实。我们对任何新事物的想法，开头总不免是错误的，或者至少有一部分是错误的；归纳过程（总结经验）就提供改正错误的机会，使思想符合现实。
用合适的语言表达事实，同思想适应于事实在一定程度上具有同样的重要意义。无论如何，这两者是有紧密联系的。科学发展非常明显地伴随着术语的发展，当物理学家开始谈到关于“电气”或医生开始谈到“传染”时，这些术语是不明白的、含糊的、混乱的。这些术语被科学家用到今天，如像“电荷”、“电流”、“细菌传染”、“病毒传染”是无比地清楚而且很明确。然而要知道，区分两个名词术语要经过多少次充分的观察，经过多少次精巧的试验，甚至一些伟大的发现。归纳过程，改造了术语，澄清了概念。一个定理已经系统地整理出来，但是为了使这个定理更加严格，我们还要给这个定理中某些术语更精确的意义。
（二）归纳与拓广的态度。
这种态度的目的在于使我们的信念尽可能有效地适应于经验和现实。这就要求把事实摆在一定的优先地位，要求随时准备把观察结果提高为一般性的原则，并随时准备根据具体观察的结果对最高的一般性原则进行修正。要求做到下述三点：①我们应当随时准备修正我们的任何一个信念；②如果有一种理由非使我们改变信念不可，我们就应当改变这一信念；③如果没有某种充分的理由，我们不应当轻率地改变一个信念。
五、结束语
数学的观点和文化，它能使人们领悟数学的真谛，懂得数学的价值，学会数学地思考和解决问题，它能把知识的学习和培养能力、发展智力有机地联系起来，这也正是人们重视数学思想方法有关问题研究的原因所在。
将数学思想方法的研究不断深入：①研究数学活动的一般规律和方法；②领悟数学的精神、思想和方法，建立正确的数学观和数学教育观，提高数学素养，增强驾驭大学数学的能力；③将数学思想方法与大学数学教学研究密切结合起来。
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