数学建模思想在高职金融数学课程上的应用实践
中图分类号：G71 文献标识码：A 文章编号：1674-198X（2015）06（c）-0178-02
随着计算机技术的发展，数学应用正以空前的广度和深度向几乎所有的科学领域渗透，
运用数学知识解决实际问题显得越来越重要，但是应用数学能力的培养仍是大学数学课堂教学中最薄弱的环节。毫无疑问，高等数学课程应该从“引导学生学数学”到“引导学生用数学”方向转变，增强大学生“用数学”的意识，培养大学生“用数学”的能力是时代赋予高等数学课程的重要任务，而这项任务最合适的载体就是数学建模。
数学建模是用数学的方法和语言将错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构，并加以求解的过程。数学建模是数学与实际问题之间的桥梁，是数学知识技术化的重要途径。建模过程完全以学生为中心，以实际问题为主线，通过调查分析，数据整理等手段抓住实际问题的主要矛盾，建立起数量关系，然后解决问题。建模过程强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果。通过数学建模，学生的自主学习和探索的意愿及能力大为增强，应用数学的意识和运用数学的能力得到了提升，团队协作精神以及创新能力得到了培养[1]。
而这种人才培养模式正是高职院校数学课程的理想模式，凸显“应用性和实用性”是高职人才培养目标对高职数学课程的内在要求。如何改变传统的以教师为中心，课堂讲授为主的陈旧的教学模式，探索更具实效性的数学教学方法和人才培养模式一直是高职院校数学工作者所面临的难题，而数学建模思想的融入使这一问题迎刃而解。
众所周知，数学建模具有难度大，所涉知识面广，对学生和教师的要求高等特点，而高职学生基础薄弱，知识的综合运用能力较差，要将数学建模思想真正地融入高职数学课堂实非易事。实例的选择将成为问题的关键，高职数学是为专业课程服务的，实例最好与学生专业相关，或是来源于生活，而且必须难度系数小，可操作性强，学生感兴趣。下面就金融专业的数学课程中“房贷按揭问题”为例，探索数学建模在高职数学课堂上的实施[2]。
2 以“房贷按揭问题”为例，探索高职数学教学与数学建模的融合
对于大多数家庭而言，房款数额较大，需要贷款买房，房贷成了现代中国家庭的主要开销之一，但月供多少合适？选择哪种还款方式？提前还贷是否划算？这些问题对于购房者而言都十分重要，而对于房屋销售人员或者银行业务人员而言，也是必需的知识储备，因此针对未来有着双重身份（既是购房者，又是销售者）的金融专业的学生，设计房贷按揭的专题讨论贴合专业，学生感兴趣又富有意义。
2.1 问题的提出
复利计算是金融专业必备的数学知识，在讲完复利的基本计算原理之后可插入“房贷的计算”这一数学模型的实践。首先教师提出问题：大家听说过房贷按揭吗？知道房贷按揭的两种还款方式？请大家下去查阅相关资料，下次课将相关的信息带过来。
2.2 建立数学模型
在网络上不难了解到房贷有等额本息和等额本金两种还款方式。等额本息还款法即是把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中，作为还款人，每个月还给银行固定金额，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。等额本金法则是将本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。
依据上述分析，可建立数学模型：设贷款本金为，贷款月利率为，贷款月数为，月还款额为。
2.3 模型分析求解
把模型建立起来之后，可先把分析求解的过程交给学生自己处理，由他们分组讨论完成。学生会遇到两个问题，一是等额本息中每月的利息和本金是变动的，如何去分析，二是等额本息中月还款额的确定。教师在引导时可用第一个月为例，加以说明。
从数学模型的建立至学生分组求解大约占用一节课的时间，如果学生能独立完成，第二节课就让学生代表上来演讲，如果学生讨论的结果不太理想，就由老师做小结。依据笔者的实践经验，学生的结果通常都不太理想，因为中间的计算总结比较复杂，学生算到第二个月就开始糊涂，很难坚持下去了。
（1）等额本息还款法分析。
第一个月：还银行利息为iA，还银行本金为iA，本月还款后还欠银行的资金总额为。
第二个月：还银行利息为，还银行本金为
，本月还款后还欠银行的资金总额为
。
第三个月：还银行利息为，还银行本金为，本月还款后还欠银行的资金总额为。
如此类推第个月还款后还欠银行的资金总额为
而实际上第个月还款后欠银行的资金总额为，因此有，由此可得等额本息的月还款额为。
（2）等额本金还款法。
这种还款法的特点是每月的本金还款额为，而利息逐月递减，第个月还款总额为。
2.4 举实例分析，作数据对比
公式推导完成之后，以“贷款金额40万，贷款月利率0.5%，贷款年限30年”为实例计算前五个月的还款数据，让学生根据数据，比较两种还款方式的特点（见表1）。
两组数据对比，单从月供来分析，显而易见，在还款初期“等额本息还款法”压力较小，而“等额本金还款法”压力较大，还款后期则反之。从每月所还本金数来看，“等额本息还款法”初期还本金数较少，不利于提前还款，而“等额本金还款法”则要高得多，合适提前还款。综上所述，“等额本息还款法”适合初期有压力且提前还款的可能性较小的贷款者，而“等额本金还款法”适合目前收入较高，且准备提前还款的贷款者。 紧接着可以引导学生讨论月供占家庭收入比的问题，一般而言月入7000元左右的家庭可承受2398的月供，而月供3000则需月入8700左右才不会影响生活质量，月供收入比控制在30%左右。
由于计算繁琐，人工很难将所有的月份算完，接下来老师可引导学生课后在网上下载一款房贷计算器，以“贷款金额40万，贷款月利率0.5%，贷款年限30年”为例，分析对比两种还款法的月还款额及最终总利息。比较两种还款法的优劣，解释为什么银行一般推荐客户使用等额本息的还款法，并思考提前还款问题。将这些问题整理好后下次可带来，共同探讨。
2.5 用excel计算器比较两种还款法，讨论提前还款问题
第二次上课时借助多媒体，就“贷款金额40万，贷款月利率0.5%，贷款年限30年”的例子先让学生分组反馈，公同探讨，最后教师进行小结（见表2）。
对比结果显示：最为明显的就是两种方法支付的利息总额不一样。在上述相同贷款金额、利率和贷款年限的条件下，“等额本金还款法”的利息总额要必“等额本息还款法”少十万左右，据此很多学生认为 “等额本金还款法”比“等额本息还款法”划算。根据详细的数据对比可知，“等额本息还款法”前期所还本金数额较“等额本金还款法”要少得多，说明其占银行的本金时间长些，自然利息要多些。根据前面的利息计算过程可知，银行是按本金的占有时间计算利息的，不存在哪一种还款方式划算的问题。那为什么银行工作人员偏向于推荐客户使用“等额本息还款法”呢？这是因为银行是吃利息饭的，自然希望客户占有资金时间长些，利息多些。
2.6 问题拓展
接下来可引导学生将还款周期改为两周或是一周，和月供对比这种方式对贷款者是否有利？从本金占有时间上看，显然缩短周期对贷款者而言会节省利息一些，虽然操作繁琐，但对于网络时代的年轻人来说，这将不是问题！
最后让学生根据目前国内的金融环境、投资理财收益率与房贷利率对比，自由讨论如果有余钱，是否应该提前还款的问题。
更进一步可引导学生自己课下根据还款公式用Matlab数学软件制作一款房贷计算器，锻炼学生的动手能力和创新思维。
3 结语
从教学内容来看，对于金融专业的学生而言“房贷按揭问题”源于生活，具有一定的专业背景，与学生未来的生活和工作相关度高，学生很感兴趣，容易激发他们应用数学的意识和学习数学的热情。从教学方法来看，建模过程以学生为主，随着资料收集整理，模型分析建立，数据分析对比，结论推广应用这一系列建模活动的推进，学生自主探索和应用数学的能力切实增强了。结合专业的数学建模符合职教特点，为高职数学课程改革提供一个新思路。
